viernes, 27 de febrero de 2009

Marido y mujer

Enunciado

¿Qué significa que la diferencia entre las dos edades es la undécima parte de la suma de ambas? Pues que si sumamos las dos edades y esa suma la vemos partida en once trocitos, la diferencia entre las dos es un fragmento de los once.

Ahora piensa que podemos rejuvenecer al hombre hasta que tenga la misma edad que la mujer. ¿Qué le habríamos quitado a su edad? Pues la diferencia entre los dos, claro. Y si los sumamos, ¿en cuánto habremos disminuido la suma? Le habremos quitado esa undécima parte, de forma que ahora quedará esa suma repartida en diez montoncitos iguales. Y como ahora tienen la misma edad, cinco serán de la mujer y cinco serán del marido.

Con todo lo anterior, podemos ver que la diferencia entre ambas edades es, en realidad, una quinta parte de la edad de la mujer. Es decir, que la edad de la mujer es divisible entre 5, por lo que acaba en 5.

La edad del marido empezará entonces por 5, y será mayor que la de la mujer. Podemos probar qué números acabados en 5 aumentan una quinta parte al darles la vuelta, hasta 45 (porque después disminuyen, claro). Comprobaremos que sólo le pasa al 45.

Es decir, la mujer tiene 45 y el hombre 54 (9 años más, la quinta parte de la edad de la mujer, o la undécima parte de 99, la suma de ambas edades).

domingo, 22 de febrero de 2009

Dos expresiones enteras

Enunciado

Con este enunciado, no sabemos lo que buscamos, pero sí que tratamos de modificar las expresiones que tenemos buscando alguna propiedad.

Así, ab + a + b = a(b + 1) + b = a(b + 1) + b + 1 - 1 = (b + 1)(a + 1) - 1. Esto quiere decir que si un número es de esta forma, al sumarle 1 obtendremos el producto de dos números enteros mayores que 2. Es decir, que si un número no se puede expresar de esta forma, su número posterior es primo.

Como vemos, es una buena caracterización, ya que si un número no es primo, se puede factorizar como producto de dos números enteros mayores que 1, que serían a + 1 y b + 1, obteniendo así a y b mayores que 0.

Por otra parte, cd + c - d = c(d + 1) - d - 1 + 1 = c(d + 1) - (d + 1) + 1 = (c - 1)(d + 1) + 1. Esto significa que, si un número es de esta forma, se puede factorizar como producto de dos factores, con algunas condiciones. Como c ≥ d ≥ 0, el primer factor puede ser -1 (c = 0), y entonces d = 0, pero en ese caso el número sería 0, que no es un entero positivo. Si c = 1, entonces d puede valer 0 o 1, obteniendo en la expresión el 1. Si c vale 2, d puede valer 0, 1 o 2, proporcionando la expresión los números 1, 2 y 3. Si c es mayor que 2, la expresión nos proporciona el número siguiente a uno que se puede factorizar como producto de dos enteros mayores que 1. Si un número genérico se puede factorizar en números enteros mayores que 1, ordenamos de mayor a menor los dos factores, y tendremos que c es el siguiente del primer factor, y d el anterior del segundo factor, que necesariamente es menor o igual, con lo que el número posterior a este número genérico se puede expresar de esta forma.

Supongamos que tenemos, entonces, un número que no se puede expresar de ninguna de estas dos formas. Entonces deberá se mayor que 3 (o sería expresable de la forma que indica la segunda expresión), y tanto su número posterior como su número anterior deberán ser primos.

De forma análoga, si un número es mayor que 3, y tanto el anterior como el posterior son primos, entonces no se puede expresar usando ninguna de estas expresiones.

Por lo tanto, es una caracterización.

jueves, 19 de febrero de 2009

La diana triangular

Enunciado

Lo primero que hay que aclarar es que, si el punto donde se clava la flecha se elige realmente al azar dentro del triángulo que delimita la diana, entonces se puede calcular la probabilidad de que entre en una zona determinada según el cociente de su área respecto del total. Observa que, en condiciones reales, las flechas disparadas tenderían a acumularse algo más en el centro, y tener esto en cuenta sería muy difícil en nuestro problema.

Círculos con radios

Círculos con radios

Así que este problema es, en realidad, un típico problema de los de calcular el área sombreada. Puesto que necesitamos el radio de las circunferencias implicadas, no hay mejor sistema para calcularlo que trazar los radios de las circunferencias. ¿Cualquier radio? No. Aquellos que toquen algún elemento importante del dibujo. Por ejemplo, un punto de tangencia. También vamos a dibujar una de las alturas (o medianas, o bisectrices: en un triángulo equilátero, todo es lo mismo).

Si tenemos en cuenta que esa altura forma, junto con media base y un lado, un triángulo rectángulo, es fácil calcular, usando Pitágoras, que mide √3/2. Ahora bien, esa altura puede dividirse en dos partes, el radio (r) y lo que falta del radio hasta el vértice, de forma que se vuelve a construir un triángulo rectángulo (pintado en verde). De nuevo podemos usar Pitágoras, ya que (1/2)2 + r2 = (√3/2 - r)2. De aquí obtenemos que r vale √3/6. Así, el área de la circunferencia es π/12, mientras que la del triángulo es √3/4. La probabilidad, por tanto, de la primera pregunta sería π√3/9 ≅ 0,604599788. Así, la probabilidad sería del orden del 60%, como afirmaba Lluís Usó en los comentarios.

Por otra parte, para calcular el área de los otros tres círculos y contestar a la segunda pregunta, basta observar que si trazamos la recta tangente al círculo grande y uno de los pequeños, como en el dibujo, se forma una figura semejante a la que ya hemos estudiado, sólo que ahora la altura mide √3/2 - 2r = √3/2 - √3/3 = √3/6, es decir, la tercera parte. Eso significa que cada uno de los círculos pequeños tendrá la tercera parte del radio, o la novena del área, es decir, que la probabilidad de acertar en cualquiera de los cuatro círculos se calcularía ahora como π√3/27 ≅ 0,201533263, del orden del 20%, como también afirmaba Lluís.

domingo, 15 de febrero de 2009

El estampado del mantel

Enunciado

Módulo del estampado

Módulo del estampado

Si entendemos bien el problema, nos faltan muchos datos, como el tamaño del mantel, la cantidad de cuadrados que tiene y cosas así. Como el estampado se repite un número grande de veces, podemos suponer que cae en uno de los módulos que se repiten, y calcular el área que corresponde al cuadrado azul dentro del módulo. La proporción del total del módulo que forma el cuadrado azul nos dará la probabilidad que buscamos.

En el dibujo he remarcado un ejemplo de uno de los módulos con los que podemos construir todo el mantel. No es la única forma de cubrir el estampado, pero todos los módulos que podamos construir tienen los mismos elementos: dos cuadrados y cuatro triángulos, todos del mismo lado. Sólo uno de los cuadrados es horizontal, es decir, que podemos calcular la proporción de áreas.

Supongamos que miden una unidad de lado, por simplificar. El cuadrado medirá de área una unidad cuadrada, por supuesto. Para calcular el área del triángulo, necesitamos la altura, que por simetría, formará junto con media base y uno de los otros lados un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa medirá 1 unidad, y uno de los catetos medirá 0,5 unidades. Aproximadamente, la altura mide, aplicando el Teorema de Pitágoras, 0,87 unidades (ya que 0,872 + 0,52 = 12). Por tanto, el área de cada triángulo será 0,43 unidades cuadradas.

Como el módulo tiene dos cuadrados y cuatro triángulos, su área completa será, aproximadamente, de 2 + 0,43*4 = 3,73 unidades cuadradas. La proporción de uno de los cuadrados en ese área es de 1/3,73, aproximadamente 26,8%. Ésta es la probabilidad buscada.

Si queremos precisión, el área de uno de los triángulos es √3/4, por lo que el área total es 2 + √3. El cociente que buscamos es 1/(2 + √3), que corresponde, si sabes ya racionalizar, a 2 - √3.

jueves, 12 de febrero de 2009

Cartulina

Enunciado

Evidentemente, como las piezas tienen forma rectangular, si no se unen por el lado largo, se deben unir por el lado corto, y como son tres, sólo hay una manera de unirlas (si fuese una cantidad divisible en diferentes grupos iguales habría otras posibilidades).

Como el rectángulo que forman es el triple de largo, y el cuadrado medía seis centímetros de lado (porque 24, que es el perímetro, dividido entre 4 da 6), ahora el rectángulo mide 18 por el lado más largo, y sólo dos por el corto, Eso le da un perímetro de 18 + 18 + 2 + 2 = 40.

domingo, 8 de febrero de 2009

Un ángulo bisecado

Enunciado

En este tipo de problemas es fundamental hacer varios dibujos del problema, variando todo lo posible las restricciones. Así, al añadir una línea en varios dibujos, se apreciarán mejor las condiciones que tienen que cumplir.

Conviene borrar todo tipo de líneas auxiliares, y probar a añadir líneas sueltas en varios dibujos (radios, diagonales, etc.) para estudiar sus relaciones.

Ángulo bisecado

Ángulo bisecado

En el caso que nos ocupa, rápidamente podemos encontrar una línea muy interesante, que nos facilita mucho su solución. Observa que los segmentos TA y TB cortan a la circunferencia interior en dos puntos, que podemos llamar A' y B'. La línea que los une parece paralela a AB, y notar eso es un paso de gigante hacia una solución.

Observa que A'TB' y ATB son el mismo ángulo, y está inscrito en dos circunferencias. Eso significa que el arco AB y el A'B' ocupan la misma fracción de la circunferencia, y por tanto que ambos dibujos están hechos a escala, es decir, son semejantes. Podríamos buscar los centros de las circunferencias, y trazar triángulos isósceles con los radios para buscar relaciones entre los ángulos, pero creo que es suficiente esta observación para decir que son, efectivamente, segmentos paralelos.

El resto es muy sencillo, ya que si dibujamos (en el dibujo se ha omitido, para enfatizar el paralelismo) el radio de la circunferencia interior, es perpendicular a AB y por eso también a A'B'. Por la simetría de la situación, se comprueba que los arcos en que divide al arco A'B', A'P y PB', son iguales. Debido a esto, los ángulos inscritos (ATP y PTB) son iguales, como se pretendía demostrar.

No es la única forma de demostrarlo, pero me ha parecido bastante elegante, pues apenas requiere conocimientos básicos.

miércoles, 4 de febrero de 2009

Las tres hermanas

Enunciado

La solución más sencilla que se me ocurre es directa: emplear lo que se supone que sabéis sobre sistemas de ecuaciones.

Llamando a a la edad de Ana, b a la de Blanca y c a la de Consuelo, la primera información que nos ofrecen nos proporciona directamente la ecuación a2 + b2 + c = c2.

Para la segunda información hay que pensar que para que Ana tenga la edad que tiene Consuelo ahora, tendrán que pasar c - a años, porque es la manera en que a + (c - a) = c. Que Consuelo entonces tenga cuatro veces la edad que tiene Ana ahora, quiere decir que c + c - a = 4a, o lo que es lo mismo, 2c = 5a.

Evidentemente, la última relación se puede expresar como 4a = 2b, o, lo que es lo mismo, b = 2a.

Para resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos que substituir en la primera, que es de segundo grado. Para ello es conveniente despejar las incógnitas en las otras que menos aparecen, así que tenemos que b = 2a por la última ecuación, es decir que b2 = 4a2 de forma que la primera queda a2 + 4a2 + c = c2, o, lo que es lo mismo, 5a2 + c = c2.

De la otra ecuación obtenemos a = 2c/5, por lo que a2 = 4c2/25. Substituyendo en la primera ecuación, tenemos que 5*4c2/25 + c = c2, de donde 4c2/5 + c = c2. Quitando denominadores, tenemos que 4c2 + 5c = 5c2. Esta ecuación es equivalente a 0 = c2 - 5c, que es una ecuación de segundo grado con dos soluciones.

La solución c = 0 no tiene sentido en este problema (si Consuelo tiene 0 años, y también todas sus hermanas, Ana ya tiene la misma edad que Consuelo y el enunciado mismo no tendría sentido).

La otra solución es c = 5, y en ese caso a = 2 y b = 4. Podemos comprobar que esta solución encaja con el enunciado.

domingo, 1 de febrero de 2009

Pasando por el centro

Enunciado

Triángulos rectángulos

Triángulos rectángulos

Lo primero es dibujar el rectángulo correctamente. No en todos los rectángulos existe ese punto P que buscamos, de forma que podemos tardar un poco en dar con uno que nos sirva. Fíjate que el lado AD debe ser más largo, si queremos que el ángulo BPC sea recto. Puede que sea conveniente dibujar un triángulo rectángulo BPC primero y después, alrededor de él, un rectángulo ABCD, de forma que P esté en AD. Otra cosa que tenemos que saber es que siempre las letras de un polígono se dan en sentido de las agujas del reloj, o en el sentido inverso.

Después hay que dibujar las perpendiculares desde A y desde D. Si nos fijamos en el dibujo, aparecen varios triángulos rectángulos, que he pintado de colores para que los reconozcáis. Si te fijas bien en los ángulos no rectos, verás que suman 90 unos con otros, es decir, que todos los más agudos son iguales, y los más amplios también entre ellos. Eso quiere decir que todos los triángulos rectángulos que aparecen son semejantes, y esto es muy importante en este problema.

Ahora unimos los puntos M y N, como está indicado en la figura. Nuestro objetivo es comprobar que esta línea pasa por el centro del rectángulo, que es donde se cortan las diagonales, en el centro de las dos. En realidad corta a cualquiera de ellas, pero hace falta dibujar una para ver si la corta exactamente por el centro. Nos interesa dibujar claramente una de ellas, la que va de el extremo de AD más próximo a P hasta el extremo opuesto de BC. En nuestro dibujo, es AC.

La diagonal y los triángulos

La diagonal y los triángulos

Claramente, la diagonal corta al segmento MN, ya que M está "por arriba" de AC, y N "por debajo" (podemos razonar con los ángulos MAP, claramente más grande que CAD, y PCB, exactamente igual).

Ahora, vamos a ver que los triángulos AMO y CNO son semejantes. Restando PCB menos ACB, nos sale el mismo ángulo que MAP menos CAD, y los segmentos AC y MN se cortan en O, así que el ángulo NOC es igual que MOA. Como tienen dos ángulos iguales, está claro que son semejantes.

Además, AMO y CNO son iguales. En efecto, AMB es un triángulo semejante a CND, según hemos visto, y ambos tienen el lado mayor (hipotenusa) igual, pues son lados del rectángulo. Esto hace que sean iguales, por lo que AM y CN son iguales, luego AMO y CNO son exactamente iguales. Por esto, O es el punto medio de AC, y MN pasa por el centro del rectángulo.