19 puntos en un hexágono

Enunciado

Dividir un hexágono en 18 partes

La idea de manejar una cantidad tan grande de puntos sugiere trabajar con el principio de Dirichlet.

Se trata de encontrar 18 regiones que dividan el hexágono de forma que las distancias máximas en su interior sean menores que la distancia dada.

Como disponemos de 19 puntos, al menos dos puntos estarán en la misma región, de donde obtenemos la conclusión de que hay dos que están a menor distancia que la dada.

Las regiones no tienen porqué ser iguales, podríamos utilizar un compás empezando desde un vértice, con esa medida, y ir trazando circunferencias sobre circunferencias, para dejar el hexágono dividido.

Sin embargo, la división propuesta en el dibujo (dividir el hexágono en seis triángulos, y cada uno de ellos en tres partes uniendo el centro del triángulo con los centros de las caras) es muy elegante y simétrica. Los 18 cuadriláteros que formamos así tienen una diagonal mayor (máxima distancia) que se puede calcular fácilmente, ya que supone los 2/3 de la altura de un triángulo de lado 1, que es √3/2, por lo que coincide con la longitud propuesta, √3/3. Esta partición en 18 cuadriláteros, por tanto, soluciona el problema.