domingo, 20 de noviembre de 2011

Funciones naturales

Enunciado

La idea de todo el trabajo con ecuaciones funcionales es tratar, a partir de las condiciones en puntos conocidos, de sacar conclusiones que afecten a todo el dominio de la función.

En este caso, veamos qué sucede con las funciones del tipo que se nos solicita.

Está claro que f(1*n) = f(n) + f(1), por lo que f(1) = 0.

Supongamos que conocemos algún valor concreto, por ejemplo, f(2) = 5. Sabemos que f(4) = 10, que f(8) = 15, y que f(16) = 20. Observa que cada vez aumenta más despacio. Hay 7 valores entre 8 y 16, y sólo 5 resultados posibles. Eso significa que no es estrictamente creciente. Pensemos que hay dos valores entre 8 y 16, pongamos 9 y 10, en los que se repite resultado, es decir, f(9) = f(10). Ahora bien, como f(99) = f(9) + f(11) es menor que f(100) = 2*f(10), también f(11) debe ser igual, y también se repite para f(12) (observa que 10*12 = 120 es una unidad inferior a 11*11 = 121). Es decir, que a partir de ese momento la función es constante. Pero no puede ser, ya que f(32) = 25 y es mayor que f(16).

Ahora, tratemos de formalizar nuestra observación.

Supongamos que f(2) = a > 0. En ese caso, f(4) = 2a, f(8) = 3a, y como 2x es una función creciente, existe b tal que 2b es mayor que 2a+2. Eso quiere decir que, como entre 2b - 1 y 2b hay exactamente 2b - 1 valores, y sus imágenes estarán comprendidas entre (b-1)a y ba, sólo pueden tener a imágenes distintas posibles. Como 2b - 1 es mayor que a + 1, entonces habrá dos valores (y además consecutivos) entre 2b - 1 y 2b que tengan la misma imagen. Supongamos que estos dos valores son s y s + 1. Entonces, como (s+1)2 = s2 + 2s + 1 = s*(s + 2) + 1, es decir, (s+1)2 es una unidad mayor que s*(s+2), tenemos que f((s+1)2) = 2f(s) debe ser mayor o igual que f(s) + f(s + 2), de donde f(s + 2) debe ser igual a f(s). Puesto que esto se aplica a cualquier número a partir de s, tendríamos que toda la función es constante a partir de ese momento, en contra de lo que sabemos, ya que 2b y 2b + 1 son mayores que s y se diferencian de nuevo en a.

Luego sólo puede suceder que f(2) = 0, y repitiendo el razonamiento para el valor 1 y 2, tenemos que toda la función es constante.

Por lo tanto, la única función que cumple el enunciado es la función constante nula.

domingo, 13 de noviembre de 2011

El estanque helado

Enunciado

Para resolver este problema, lo único que hay que hacer es utilizar el Teorema de Pitágoras y un poco de álgebra.

La idea es dividir el rectángulo en cuatro rectángulos cuyos vértices coinciden con el lugar en el que cayó la piedra.

Es sencillo entender que x, a, b y c son ahora las diagonales de los cuatro rectángulos, y sus lados están todos repetidos. Expresamos con cuatro ecuaciones las relaciones de Pitágoras de cada uno de los rectángulos.

Las cuatro ecuaciones serán, poniendo a los lados de los rectángulos s, t, u y v, las siguientes: x2 = v2 + s2, a2 = v2 + t2, c2 = u2 + s2 y b2 = u2 + t2.

Restando la primera y la segunda ecuación, y la tercera y la cuarta, eliminamos las variables u y v, y quedan nuestras ecuaciones como x2 - a2 = s2 - t2 y c2 - b2 = s2 - t2.

Como vemos, ambas ecuaciones tienen la misma expresión en el lado derecho, por lo que de ellas se deduce que x2 - a2 = c2 - b2, por lo que x2 = a2 + c2 - b2.

De esta forma, podemos calcular fácilmente el valor de x.

jueves, 10 de noviembre de 2011

Elegir a un equipo goleador

Enunciado

Este problema no es sencillo, porque a partir de diferentes ejemplos podemos llegar a estrategias particulares, pero es muy difícil generalizar. Conviene partir de ejemplos más pequeños, en los que haya que elegir entre cuatro jugadores dos parejas, o entre seis tres parejas.

La clave de este problema es la paridad. Puesto que podemos elegir el primero o el último, si elegimos el primer jugador dejaremos al otro portero elegir entre dos jugadores en posición par, y si elegimos el 20, el otro portero podrá elegir entre el 1 y el 19, que ocupan posición impar. Independientemente de su elección, podemos volver a forzarle a que escoja entre una posición par u otra impar.

La estrategia se basa en ese detalle. Previamente a empezar la elección, podemos sumar los que están en posición par y los que están en posición impar, y decidir en ese momento si nos interesa más optar por unos o por otros, para forzar a nuestro rival a escoger los que tienen la paridad menos interesante.

Sin embargo, en el caso de que el número de jugadores sea impar, no hay una estrategia ganadora definida, ya que según la distribución hay una estrategia ganadora para el primero en elegir o una para el segundo. Pongamos un ejemplo de cada una de ellas. Si ningún jugador ha marcado ningún gol excepto el primero, el primer portero en escoger está claro que tiene una estrategia ganadora. En el caso de que suceda algo similar y el único jugador goleador esté en segunda posición, por ejemplo, el primer portero no debe escoger el primer jugador, pues daría ventaja inmediata al segundo. Pero si el segundo portero tampoco elige al primero, llegará un momento en que queden tres jugadores para elegir, y el goleador quedará entre ambos, y le tocará elegir al primer portero. Está claro que, elija como elija, el segundo se quedará con el único goleador.

domingo, 6 de noviembre de 2011

Las vacaciones del director

Enunciado

En este problema está claro que hay un total de 11 mañanas o tardes despejadas, y siete en las que estuvo lloviendo. Puesto que no hay más posibilidades, eso hace un total de 18 mañanas o tardes, es decir, nueve días, de los cuales seis mañanas fueron despejadas y tres lluviosas, mientras que se dieron cinco tardes despejadas y cuatro lluviosas (que coincidieron con cuatro mañanas despejadas). En resumen, sólo dos días no llovieron, de los nueve que estuvo de vacaciones.

jueves, 3 de noviembre de 2011

Campamento de verano en los Pirineos

Enunciado

La idea es que, como Pere está 16 minutos más que Fran, pela 16*5 = 80 patatas en el tiempo extra. El tiempo que ambos están pelando patatas juntos pelan 13 por minuto (8 Fran y 5 Pere).

Por lo tanto, 80 patatas las pela Pere en 16 minutos, y de las restantes, que son 520, se ocupan entre ambos a razón de 13 por minuto, lo que hace un total de 40 minutos. Eso quiere decir que Pere pela 200 y 320 Fran. En resumen, que Pere pela 280 y Fran 320.