En la peluquería

Enunciado

Supongo que todo el que haya leído este enunciado y haya cursado un nivel algo más alto, reconocerá el típico problema "de mezclas" que se resuelve usando álgebra.

Si queremos plantearlo de una manera creativa sin hacer uso del álgebra, podemos utilizar un recurso muy sencillo. Por ejemplo, probar a usar una cantidad conocida del primer producto, en el que podemos calcular mediante proporciones cuánto principio activo hay, y reemplazar una unidad por el segundo producto, para ver cuánto principio activo queda (dejando sin cambios la cantidad total). Si repetimos el procedimiento un cierto número de veces, obtendremos el resultado buscado.

Veamoslo más detalladamente. Si partimos, por ejemplo, de 100 litros del primer producto, contendrá 30 litros de principio activo. Ahora, si eliminamos un litro, quedan 99 litros (con 29,7 litros de principio activo), y si añadimos 1 litro del otro producto, estamos incorporando sólo 0,03 litros de principio activo, es decir, tendremos ahora 100 litros, pero tan sólo 29,73 litros de principio activo, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo por cada litro que cambiemos. Puedes confirmarlo cambiando una cantidad cualquiera (por ejemplo, si cambias 5 de los 100 litros, quedarán 95 litros de producto concentrado y 5 del otro, lo que supone 95*0,3 + 5*0,03 = 28,5 + 0,15 = 28,65, que es lo mismo que 30 - 5*0,27 = 30 - 1,35 = 28,65). Ahora, para conseguir que sólo quede 12 litros de principio activo, debemos quitar de los 30 litros nada menos que 18. Si intentamos quitarlos en grupos de 0,27, deberemos dividir, y no sale exacto, es decir, sale que hemos de cambiar 66,67 litros aproximadamente, y por tanto esa debería ser la proporción, 33,33 litros de cada 100 del producto más puro y 66,67 del más diluido para la mezcla buscada.

Claro, que al fin y al cabo, si buscamos números más exactos, debemos fijarnos en que hemos dividido 18 entre 0,27, es decir, 1800 entre 27. Y no es exacto porque 27 tiene un factor 3 de más, es decir, que si tuviésemos una cantidad de litros múltiplo de 3, nos habría dado exacto. Podemos repetir el razonamiento con una cantidad múltiplo de 3 para conseguirlo.

Supongamos que tenemos 3 litros del producto concentrado. Tendremos entonces 0,90 litros de principio activo. Si cambiamos un litro por el producto segundo, tendremos 2*0,30 + 1*0,03 = 0,60 + 0,03 = 0,63, es decir, habremos perdido 0,27 litros de principio activo. Como queremos alcanzar 3*0,12 = 0,36 litros, debemos perder 0,90 - 0,36 = 0,54, es decir, el doble de 0,27, es decir, que basta cambiar 2 litros del producto más concentrado por el otro.

Así que una proporción precisa sería mezclar un litro del primer producto con dos del segundo.

Salto generacional

Enunciado

En definitiva, hemos de buscar lo que sucede si sumamos cuatro números consecutivos, y debe dar un número múltiplo de 11, que además sea mayor que 50.

Una primera sugerencia es sumar números bajos. Si el menor es 1, nos da 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Si aumentamos el menor de los números, también aumentaremos todos los demás, obteniendo 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Está claro que cada unidad que aumentemos la edad del menor, añadimos 4 unidades a la suma.

Dicho de otra forma, las posibles edades del abuelo aumentan de 4 en 4, siempre entre números pares pero que no son múltiplos de 4 (10, 14, 18, 22, ....). Como vemos, el primer múltiplo de 11 es el 22, que no es válido por no ser mayor que 50. Como vamos de 4 en 4, y también de 11 en 11 para obtener múltiplos de 11, debemos añadir de 44 en 44, es decir, que la siguiente posible edad será 22 + 44 = 66. Y la siguiente 110. Está claro que la siguiente, 154, es algo excesiva hasta para un abuelo de un problema de matemáticas.

En el caso de la edad de 66, habremos sumado 56 a 10, lo que hace un total de 56/4 = 14 años a cada uno de los nietos, es decir, que tendrán 15, 16, 17 y 18.

Si el abuelo tiene 110, entonces habremos sumado 100 a 10, 25 a cada nieto, lo que da 26, 27, 28 y 29.

Otra idea que podemos seguir, es que si sumamos cuatro números consecutivos, el primero y el último suman lo mismo que los dos centrales, y debe ser un número impar, así que la edad del abuelo debe ser par, y no puede ser múltiplo de 4. Como además ha de ser múltiplo de 11, llegamos a 66 y a 110 de la misma forma. Ahora, para las edades de los nietos, en el primer caso, deben sumar 33 los dos centrales, lo que obliga a que sean 16 y 17 (observa que 16 = (33 - 1)/2). Luego son 15, 16, 17 y 18. En el segundo caso, los dos centrales sumarán 55, por lo que deben ser 27 y 28, así que los cuatro serán 26, 27, 28 y 29.

Desigualdad con raíces

Enunciado

Este tipo de enunciados es muy frecuente en la fase local, debemos disponer de estrategias que nos permitan afrontarlos con cierta tranquilidad, porque no son especialmente difíciles, pero si no dominamos las estrategias adecuadas, pueden convertirse en una cuestión imposible.

Una de las herramientas básicas consiste en conocer las desigualdades de las medias, para las cuales aconsejo leer dos pequeños artículos (en pdf) de korovkin: las desigualdades aritmético geométricas y las potenciales.

En este caso, nos interesa aplicar una desigualdad que afirma que la media aritmética de números positivos es siempre menor que la cuadrática. ¿Por qué la media cuadrática? Porque, al elevar al cuadrado, nos permite eliminar las molestas raíces que aparecen en nuestro enunciado.

Es decir, que como se da que √((s² + t²)/2) ≥ (s + t)/2, aplicándolo a la expresión más complicada que tenemos, √(ab) + √((a² + b²)/2) = 2*(√(ab) + √((a² + b²)/2))/2 ≤ 2*√((√(ab)² + √((a² + b²)/2)²)/2), donde la hemos aplicado a esas dos expresiones, que quedan elevadas al cuadrado. Esta expresión se transforma ahora en 2*√((√(ab)² + √((a² + b²)/2)²)/2) = 2*√(ab + (a² + b²)/2)/2) = 2*√((2ab + a² + b²)/4) = 2*√((a + b)²/4) = 2*(a + b)/2 = a + b, con lo que queda demostrada la afirmación.

Otro enfoque, bastante diferente, consiste en dividir esta desigualdad entre una de las variables, pongamos por a, de forma que √(ab) + √((a² + b²)/2) ≥ a + b es equivalente a √(b/a) + √((1 + (b/a)²)/2) ≥ 1 + b/a, de forma que todo queda dependiendo de una única variable b/a, es decir, que basta demostrar que √x + √((1 + x²)/2) ≥ 1 + x, de forma que se trata de una desigualdad en una única variable, algo mucho más fácil de manejar, por ejemplo, resolviendo la igualdad √x + √((1 + x²)/2) = 1 + x y descubriendo dónde se cortan las dos funciones y dónde es mayor una que otra realmente.

Una lista de 100 números muy peculiar

Enunciado

Si tratamos de conseguirlo, enseguida surgirán problemas, pero es difícil concretar porqué, y cuál es la cantidad de números a partir de la cual empiezan las dificultades.

La idea es encontrar una propiedad de los cuadrados que impida acumular muchos números con esas condiciones, pero es difícil dar con una propiedad sencilla. En este tipo de situaciones, debemos suponer que tenemos una lista de ese tipo, y demostrar que hay una propiedad imposible de cumplir, por lo que sabremos que no existe esa lista. Este método se denomina reducción al absurdo.

La primera observación útil es que si se obtienen cuadrados sumando cinco y nueve números impares, ha de tratarse de cuadrados impares. Esto está claro. ¿Hay alguna propiedad de los cuadrados impares que nos pueda dar una pista?

Claro, que si pensamos en 5*9 = 45 números de esa lista, nos fijamos en que los mismos números deben sumar cinco cuadrados y también nueve cuadrados, es decir, que cinco cuadrados deben sumar lo mismo que nueve cuadrados, y ahí podemos encontrar dificultades. Vamos a tratar de centrarnos en esa posibilidad, y ver qué sucede con los cuadrados impares, al estudiar diferentes posibilidades.

Si nos fijamos sólo en su paridad, no avanzamos mucho, ya que es muy sencillo sumar cinco impares y que tenga la misma paridad que sumar nueve. No es ese el factor que nos lleva a una situación imposible.

Sin embargo, atendiendo a los números en su relación con 4, por ejemplo, observaremos que pueden ser de la forma 4k + 1 y 4k + 3 según su resto al dividir entre 4. Sin embargo, al elevar al cuadrado alguno de estos dos números, tenemos (4k + 1)² = 16k² + 8k + 1 = 8*(2k² + k) + 1 y (4k + 3)² = 16k² + 24k + 9 = 8*(2k² + 3k + 1) + 1, de forma que en ambos casos, sus cuadrados sólo pueden ser de la forma 8s + 1 para algún s, es decir, al dividirlos entre 8 siempre tienen resto 1.

Aquí se ve cuál debe ser el problema, ya que si tenemos cinco números que al dividirlos entre 8 dan 1 de resto, su suma dará 5 de resto al dividirlos entre 8, y si tenemos nueve números así, entonces al dividirlos entre ocho debería dar resto 1 (ya que los nueve unos se unirían en un ocho y un uno). Por lo tanto es imposible que los dos números sean iguales, así que ni siquiera podremos llegar a 45 números con esta propiedad, por mucho que busquemos. Y mucho menos a 100.

Es posible que haya otras condiciones que impidan escribir listas incluso más cortas, pero probablemente sean más complicadas ¿alguien puede encontrar alguna?